31p + 1 est-il carré ? - Corrigé

Énoncé

Existe-t-il des nombres premiers $p$ tels que $31p+1$ soit un carré parfait ?

Solution

Soit $p$ un nombre premier tel que $31p+1$ soit un carré parfait, c'est-à-dire qu'il existe un entier $a$ supérieur ou égal à $8$ tel que $31p+1=a^2$ (on peut supposer que $a⩾8$ car $31p+1⩾31\times 2+1=63$ et $8^2=64$ est le plus petit carré d'un entier positif supérieur ou égal à $63$ ).

On a alors
$\begin{array}{rl}31p+1=a^2& ⟺31p=a^2-1\\ & ⟺31p=(a+1)(a-1)\\ & ⟺p=\frac{(a+1)(a-1)}{31}\end{array}$  

Comme $31$ est un nombre premier, $(a+1)$ ou $(a-1)$ est un multiple de $31$ , autrement dit il existe $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $a+1=31k$ ou $a-1=31k$ .

Ainsi, on a  $\begin{array}{rl}31p+1=a^2& ⟺p=k(a-1)\text{ou}p=k(a+1)\end{array}$ .

On en déduit que  $p$ est un nombre premier divisible :

• soit par $k$ et $a-1$ ;
• soit par $k$ et $a+1$ .

Ce qui implique nécessairement que $k=1$ (car $a+1>a-1⩾7>1$ ).

• Dans le cas où $p=k(a-1)=a-1$ ,
  on a $a+1=31$ , c'est-à-dire $a=30$ et donc $p=29$ est bien premier.
• Dans le cas où $p=k(a+1)=a+1$ ,
  on a $a-1=31$ , c'est-à-dire $a=32$ et donc $p=33$ n'est pas premier.

Finalement, seul $p=29$ convient.

Réciproquement, on observe que :  $31\times 29+1=900={30}^2$ .